Wishart 分布是用来描述多元正态样本的协方差矩阵而引入的
矩阵型
随机分布,注意它是一个随机矩阵,不是随机变量。所以一般的多元统计书都是一笔带过的。从最简单的Wishart分布开始:
假设有m个独立同分布的,也就是标准多元正态分布, ,则称V服从自由度为m的Wishart分布,记做
稍微复杂点的:
假设有m个独立同分布的 ,也就是中心化的多元正态分布, ,则 ,多了一个用于描述多元正态分布协方差阵的参数Σ
另一种定义方式:
Wishart分布和样本协方差阵的关系:
设n个独立同分布的
,有统计量
那么他们的分布是
和
且二者独立。
Inverse-Wishart分布:
如果一个正定矩阵B的逆矩阵 服从Wishart分布 ,那么称服从Inverse-Wishart分布
Inverse-Wishart分布常作为Bayes中多元正态分布的协方差阵的共轭先验分布
假设独立同分布的
,那么后验条件分布
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回到原问题
第一题送分题。
第二题,注意到均值方差独立,多元正态均值的共轭先验分布也是多元正态,那么后验分布是第一个正态项,协方差阵刚才介绍了共轭后验是逆威沙特分布。
第三题,还需要介绍多元t分布太浪费时间了,我直接把答案贴出来
参考: Murphy K P. Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution[J]. def, 2007, 1(2σ2): 16.